統計 - 標準正態分佈

標準正態分佈是指均值為 0，標準差為 1 的正態分佈。

標準正態分佈

服從正態分佈的資料可以轉換為標準正態分佈。

對服從正態分佈的資料進行標準化處理，可以更容易地比較不同的資料集。

標準正態分佈用於

• 計算置信區間
• 假設檢驗

下圖是標準正態分佈的圖形，其中標示了標準差之間的機率值（p 值）。

標準化處理可以更容易地計算機率。

計算機率的函式非常複雜，難以手動計算。

通常，機率是透過查詢預先計算值的表格，或使用軟體和程式來找到的。

標準正態分佈也稱為“Z 分佈”，其值稱為“Z 值”（或 Z 分數）。

Z 值

Z 值表示一個值距離均值有多少個標準差。

計算 Z 值的公式是：

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma}\)

其中 \(x\) 是要標準化的值，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是標準差。

例如，如果我們知道：

鮑勃比德國人的平均身高高 30 釐米。

30 釐米是 10 釐米的 3 倍。所以鮑勃的身高比德國平均身高高 3 個標準差。

使用公式：

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{200-170}{10} = \frac{30}{10} = \underline{3} \)

鮑勃身高（200 釐米）的 Z 值為 3。

查詢 Z 值的 P 值

使用 Z 表或程式設計，我們可以計算德國有多少人比鮑勃矮，有多少人比鮑勃高。

使用任何一種方法，我們都可以發現機率約為 \(\approx 0.9987\)，即 \( 99.87\% \)。

這意味著鮑勃比 99.87% 的德國人高。

下圖是標準正態分佈和 Z 值為 3 的圖形，以視覺化機率。

這些方法找到的是特定 z 值以下的 p 值。

要找到 z 值以上的 p 值，我們可以計算 1 減去該機率。

所以，在鮑勃的例子中，我們可以計算 1 - 0.9987 = 0.0013，即 0.13%。

這意味著只有 0.13% 的德國人比鮑勃高。

查詢 Z 值之間的 P 值

如果我們想知道德國有多少人身高在 155 釐米到 165 釐米之間，使用相同的例子：

現在我們需要計算 155 釐米和 165 釐米的 Z 值。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{155-170}{10} = \frac{-15}{10} = \underline{-1.5} \)

155 釐米的 Z 值為 -1.5。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{165-170}{10} = \frac{-5}{10} = \underline{-0.5} \)

165 釐米的 Z 值為 -0.5。

使用 Z 表或程式設計，我們可以找到兩個 z 值的 p 值：

• Z 值小於 -0.5（身高小於 165 釐米）的機率為 30.85%。
• Z 值小於 -1.5（身高小於 155 釐米）的機率為 6.68%。

將 6.68% 從 30.85% 中減去，以找到它們之間的 Z 值的機率。

30.85% - 6.68% = 24.17%

這是一組圖示化該過程的圖形。

查詢 P 值的 Z 值

您也可以使用 p 值（機率）來查詢 z 值。

例如

p 值為 0.9，即 90%。

使用 Z 表或程式設計，我們可以計算 z 值。

使用任一方法，我們都可以發現 Z 值為 \(\approx 1.281\)。

這意味著一個比德國人平均身高高 1.281 個標準差的人比 90% 的德國人高。

然後我們使用公式根據均值（\(\mu\)) 為 170 釐米，標準差（\(\sigma\)) 為 10 釐米來計算身高（\(x\))。

\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} \)

\(\displaystyle 1.281 = \frac{x-170}{10} \)

\(1.281 \cdot 10 = x-170 \)

\(12.81 = x - 170 \)

\(12.81 + 170 = x \)

\(\underline{182.81} = x \)

因此，我們可以得出結論：