統計 - 標準差

標準差是變化性中最常用的度量，它描述了資料的離散程度。

標準差

標準差 (σ) 衡量“典型”觀測值與資料平均值 (μ) 的距離。

標準差對於許多統計方法都很重要。

這是截至 2020 年所有 934 位諾貝爾獎獲得者年齡的直方圖，顯示了標準差

直方圖中的每條虛線都表示增加一個標準差的偏移。

如果資料是正態分佈的：

• 大約 68.3% 的資料在平均值的一個標準差範圍內 (從 μ-1σ 到 μ+1σ)
• 大約 95.5% 的資料在平均值的兩個標準差範圍內 (從 μ-2σ 到 μ+2σ)
• 大約 99.7% 的資料在平均值的三個標準差範圍內 (從 μ-3σ 到 μ+3σ)

計算標準差

您可以計算總體和樣本的標準差。

這兩個公式幾乎相同，並使用不同的符號來指代標準差 (\(\sigma\)) 和樣本標準差 (\(s\))。

標準差 (\(\sigma\)) 的計算公式為：

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\mu)^2}{n}}\)

樣本標準差 (\(s\)) 的計算公式為：

\(\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}}\)

\(n\) 是觀測值的總數。

\(\sum \) 是將一系列數字相加的符號。

\(x_{i}\) 是資料中的值列表：\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \)

\(\mu\) 是總體均值，\(\bar{x}\) 是樣本均值（平均值）。

\( (x_{i} - \mu ) \) 和 \( (x_{i} - \bar{x} ) \) 是觀測值 (\(x_{i}\)) 與均值之間的差值。

每個差值都被平方並相加。

然後將總和除以 \(n\) 或 (\( n - 1 \))，然後計算平方根。

使用這 4 個示例值計算總體標準差

我們必須先找到均值

\(\displaystyle \mu = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{4 + 11 + 7 + 14}{4} = \frac{36}{4} = \underline{9} \)

然後我們找到每個值與均值的差值 \( (x_{i}- \mu)\)

• \( 4-9 \; \:= -5 \)
• \( 11-9 = 2 \)
• \( 7-9 \; \:= -2 \)
• \( 14-9 = 5 \)

然後將每個值平方，即乘以自身 \( ( x_{i}- \mu )^2\)

• \( (-5)^2 = (-5)(-5) = 25 \)
• \( 2^2 \; \; \; \; \; \, = 2*2 \; \; \; \; \; \; \; \: = 4 \)
• \( (-2)^2 = (-2)(-2) = 4 \)
• \( 5^2 \; \; \; \; \; \, = 5*5 \; \; \; \; \; \; \; \: = 25 \)

然後將所有平方差相加 \( \sum (x_{i} -\mu )^2\)

\( 25 + 4 + 4 + 25 = 58\)

然後將總和除以觀測值的總數 \( n \)

\( \displaystyle \frac{58}{4} = 14.5\)

最後，我們取這個數字的平方根

\( \sqrt{14.5} \approx \underline{3.81} \)

因此，示例值的標準差大約為：\(3.81 \)

使用程式設計計算標準差

使用許多程式語言可以輕鬆計算標準差。

使用軟體和程式設計計算統計資料對於較大的資料集更為常見，因為手動計算會變得困難。

總體標準差

樣本標準差

統計符號參考